Question

（2013?丰台区一模）如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求

（2013?丰台区一模）如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）在线段PA上，是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求PEPA的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴AC⊥PD．
（Ⅱ）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．下面给出证明：
∵AD=3，
∴在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF．
∵

PE

PA

＝

PF

PD

＝

1

3

，∴EF∥AD，EF＝

1

3

AD＝1．
又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．