Question

设对于不大于 5 4 的所有正实数a，如果满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，也满足不等式 |x- a

设对于不大于 5 4 的所有正实数a，如果满足不等式|x-a|＜b的一切实数x，也满足不等式 |x- a 2 |＜ 1 2 ，求实数b的取值范围．

Answer 1

由题意可得b＞0是不用求的，否则|x-a|＜b都没解了． 故有-b＜x-a＜b，即a-b＜x＜a+b． 由不等式 |x- a 2 |＜ 1 2 可得，洞碰- 1 2 ＜x-a 2 ＜ 1 2 ，即 a 2 - 1 2 ＜x＜a 2 + 1 2 ． 第二个不等式的范围要大于第一个不等式，这样只要满足了第一个不等式， 肯定满足第二个不等式，命题成立． 故有 a 2 - 1 2 ≤a-b，且 a+b≤a 2 + 1 2 ，0＜a≤ 5 4 ． 化简可得 b≤穗返-a 2 +a+ 1 2 ，且b≤a 2 -a+ 1 2 ． 由于-a 2 +a+ 1 2 =- (a- 1 2 ) 2 + 3 4 ∈[ 3 16 ， 3 4 ]，故 b≤ 3 16 ． 由于猜颤饥 a 2 -a+ 1 2 = (a- 1 2 ) 2 + 1 4 ∈[ 1 4 ， 13 16 ]．故 b≤ 1 4 ． 综上可得 0＜b≤ 3 16 ．