Question

已知函数 f(x)= 2 x - a 2 x ，将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）的图

已知函数 f(x)= 2 x - a 2 x ，将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）若函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称，求函数y=h（x）的解析式；（3）设 F(x)= 1 a f(x)+h(x) ，设F（x）的最小值为m．是否存在实数a，使 m＞2+ 7 ，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)= 2 x - a 2 x ，将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）的图象， g（x）=f（x-2）= 2 x-2 - a 2 x-2 ； （2）设y=h（x）上的任意点P（x，y），则P关于y=1对称点为Q（x，2-y），点Q在y=g（x）上，所以h（x）=2- 2 x-2 + a 2 x-2 ； （3）F（x）=（ 1 a - 1 4 ）2 x +（4a-1） ( 1 2 ) x +2 ①当a＜0时， 1 a - 1 4 ＜0，4a-1＜0，∴F（x）＜2，与题设矛盾 ②当0＜a≤ 1 4 时， 1 a - 1 4 ＞0，4a-1≤0，F（x）在R上是增函数，F（x）无最小值； ③当a≥4时， 1 a - 1 4 ≤0，4a-1＞0，F（x）在R上是减函数，F（x）无最小值 ④当 1 4 ＜a＜4时， 1 a - 1 4 ＞0，4a-1＞0，F（x）≥2 (4-a)(4a-1) 4a +2=m 由m＞2+ 7 ，得 1 4 ＜a＜4 (4-a)(4a-1) a ＞7 ， ∴1＜a＜4