如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
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应该是360度,角E等于ABX组成的三角形的X角,角F等于CDY组成的三角形Y的角度,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2*三角形内角和=2*180=360
追问
能说明白一点吗?
追答
AD//EF,所以∠X=∠F,∠Y=∠E,其中∠X,∠Y为AB三角形与CD三角形的另一个角
不好意思说错了,AD不一定平行EF的,假设中间的那个三角形是XYZ,则角AXB=角ZXY,
角CYD=角XYZ,角EZF=角XZY,而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠Y+∠X+∠Z=3*三角形内角和=3*180=540,而+∠Y+∠X+∠Z=中间三角形内角和=180,所以A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540-180=360
当然我一开始说的AD//EF情况是这题的一个特例
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设∠E、∠F所在的小五边形为EFGHI(五个顶点),点H左右两侧为三角形BCH的外角=∠B
∠C,顶点G左侧的内角又是三角形AGH的一个外角=∠A
∠H=∠A
∠B
∠C,同理得顶点I左侧的内角=∠D
∠B
∠C,顶点I下方的内角=180-(∠B
∠C),所以五边形EFGHI的内角之和为=∠E
∠F
∠G
∠H
∠I=∠E
∠F
(∠A
∠B
∠C)
(∠D
∠B
∠C)
(180-(∠B
∠C))=∠A
∠B
∠C
∠D
∠E
∠F
180。五边形内角之和为540,所以∠A
∠B
∠C
∠D
∠E
∠F=360。
∠C,顶点G左侧的内角又是三角形AGH的一个外角=∠A
∠H=∠A
∠B
∠C,同理得顶点I左侧的内角=∠D
∠B
∠C,顶点I下方的内角=180-(∠B
∠C),所以五边形EFGHI的内角之和为=∠E
∠F
∠G
∠H
∠I=∠E
∠F
(∠A
∠B
∠C)
(∠D
∠B
∠C)
(180-(∠B
∠C))=∠A
∠B
∠C
∠D
∠E
∠F
180。五边形内角之和为540,所以∠A
∠B
∠C
∠D
∠E
∠F=360。
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设中间的一个三角形的三个内角分别是∠1、∠2和∠3
那么∠a+∠b+∠1=180° (1)
∠c+∠d+∠2=180° (2)
∠e+∠f+∠3=180° (3)
∠1+∠2+∠3=180° (4)
所以(1)+(2)+(3)-(4),得:
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=360°
那么∠a+∠b+∠1=180° (1)
∠c+∠d+∠2=180° (2)
∠e+∠f+∠3=180° (3)
∠1+∠2+∠3=180° (4)
所以(1)+(2)+(3)-(4),得:
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f=360°
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连接cd,设ac、bd的交点为g
因为∠a+∠b+∠agb=180°=∠cgd+∠bdc+∠acd
而∠agb=∠cgd(对顶角相等)
所以∠a+∠b=∠bdc+∠acd
因为∠a+∠b+∠agb=180°=∠cgd+∠bdc+∠acd
而∠agb=∠cgd(对顶角相等)
所以∠a+∠b=∠bdc+∠acd
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