Question

如图，△ABC中，D、E是BC的三等分点，BF是中线，交AD、AE于G、H，则BG：GH：HF=

一道初中数学竞赛题，如图，△ABC中，D、E是BC的三等分点，BF是中线，交AD、AE于G、H，则BG：GH：HF=

Answer 1

过F作FN//BC,交AE于M,AD于N,
∵F是AC的中点,
∴MF是三角形AEC的中位线,
∴MF=CE/2,
CE=2MF,
∵BD=DE=CE,
∴BE=2CE=4MF,
∵MF//BE,
很明显,
∴△MFH∽△EBH,
∴HF/BH=MF/BE=1/4,
∵NF是三角形ADC的中位线,
∴NF=CD/2=CE=BD,
∵〈GFN=〈GBD（内错角相等）,
〈GNF=〈GDB（内错角相等）,
∴△NFG≌△DBG,（ASA）,
∴GF=BG,
∵FH/BH=1/4,
∴FH/BF=1/5,
FH=BF/5,
∵BG=BF/2,
GF=BF/2,
∴GH=GF-HF=BF/2-BF/5=3BF/10,
BG：GH：HF=（1/2）BF：（3/10）BF：（1/5）BF
=5：3：2.
∴BG：GH：HF=5：3：2.