Question

求渐近线过程？

Answer 1

lim(x->0) xe^(1/x²)的极限不是∞,因为当x分别从左边和右边趋向0时,y分别趋向负无穷大和正无穷大,方向不一,所以极限不存在,但左右极限都存在
右极限：
lim(x->0+) xe^(1/x²)
= lim e^(x^-2)/(x^-1),上下除以x
= lim [e^(x^-2) * -2x^-3]/(-x^-2),运用洛必达法则,分子分母分别求导
= 2lim e^(1/x²) * 1/x,当x->0+时,1/x²->+∞,e^(1/x²)->+∞,1/x->+∞,所以e^(1/x²)*1/x->+∞
= +∞,
∴x=0是y=xe^(1/x²)的垂直渐近线(x轴上的部分)
左极限：
lim(x->0-) xe^(1/x²),跟上面同样做法,到了最后那步
= 2lim e^(1/x²) * 1/x,当x->0-时,1/x²->+∞,e^(1/x²)->+∞,但1/x->-∞,所以e^(1/x²)*1/x->-∞
= -∞
∴x=0是y=xe^(1/x²)的垂直渐近线(x轴下的部分)
lim(x->∞) [xe^(1/x²) - x]
= lim x[e^(1/x²) - 1]
= lim [e^(1/x)² - 1]/(1/x)
= lim [e^(1/x)² - 1]/(1/x)² * (1/x)
= lim [e^(1/x)² - 1]/(1/x²) * lim (1/x)
= 0
这极限说明当x趋向无穷大时,曲线y=xe^(1/x²)与直线y=x之间的距离越来越接近0
所以y = x是曲线xe^(1/x²)的斜渐近线