高等数学:已知L:x^2+y^2=a^2,取逆时针方向,则曲线积分∫L x^2ydx-xy^2dy=?

应用格林公式转化成∫∫x^2+y^2dxdy用极坐标求出答案是πa^4/2如果我把x^2+y^2=a^2带入到上面,a^2*∫∫1dxdy=a^2*πa^2=πa^4(∫... 应用格林公式转化成 ∫∫ x^2+y^2 dxdy用极坐标求出答案是 πa^4/2如果我把 x^2+y^2=a^2 带入到上面,a^2*∫∫ 1 dxdy = a^2*πa^2 = πa^4(∫∫ 1 dxdy是圆的面积)为什么两种做法答案不一样? 展开
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冰野略识之无
高粉答主

2021-08-11 · 冬夜读书示子聿 (宋) 陆游古人学问无遗
冰野略识之无
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对坐标的曲线积分,把 x^2+y^2=a^2 带入到上面错误,因这只考虑了边界。本题应用格林公式化成 ∫∫ -(x^2+y^2) dxdy, 用极坐标求出答案是 -πa^4/2。

取充分小的正数e,在单位圆内做椭圆x^2+4y^2=e^2,方向为逆时针方向,记为S+S包围区域为D,其长轴为e,短轴为e/2,面积为pi*e^2/2。

原积分=∫LPdx+Qdy

=∫L并S-Pdx+Qdy--∫S-Pdx+Qdy第一个用格林公厅早式注意到ap/ay=aQ/ax

=0+∫辩伏亩S+Pdx+Qdy

=【∫S+(x+4y)dy+(x--y)dx】/e^2再用格林公式

=∫∫D(1+1)dxdy/e^2

=2*D的面积/e^2

=pi。

格林公式的含义:

平面闭区D上的二重积分可表示为沿闭区D边界曲线L的曲线积分;换句话说,闭合路径的携森曲线积分可以用二重积分来计算。

如果区域D不满足上述条件,也就是说,如果直线的交点平行于坐标轴通过区域和边界曲线超过两个点,一个或多个辅助曲线可以引入该地区分成几个部分地区,使得每个部分区域都符合上述条件,并且仍然可以证明格林公式的有效性。

注:对于复杂连通区域D,格林公式的右端应包含沿区域D所有边界的曲线积分,且区域D边界方向均为正。

格林公式表达了二重积分与曲线积分在坐标上的联系,因此得到了广泛的应用。

以上内容参考:百度百科-格林公式

sjh5551
高粉答主

2017-06-15 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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对坐标的曲线积分,把 x^2+y^2=a^2 带入到上面错误,因这只考虑了边界。
本题应用格林公式化成 ∫∫烂余慧 -(饥答x^2+y^2) dxdy, 用毁慎极坐标求出答案是 -πa^4/2, 选 A.
追问
只考虑了边界,能不能解释的更详细一点
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茹翊神谕者

2020-09-22 · TA获得超过2.5万个赞
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如图消含型贺所拿租笑示

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