Question

无限个无穷小的乘积为什么不是无穷小

Answer 1

你之所以无法理解为何无限个无穷小乘积不一定是无穷小是因为你没搞清这两点

1.无穷小不是一个数，而是在某个微小邻域内极限值为0的函数

2.无限个无穷小，不是很多个无穷小，很多个到无穷个是量变到质变的过程。

参考有限个无穷小之积仍然是无穷小的证明，可以发现，当从有限到无限的时候，我们无法对α进行定义，故而也找不到符合条件的邻域使得无穷个无穷小乘积为无穷小成立。

你也可以这样理解，这无穷个无穷小中并不全是同阶的无穷小，而无穷小的阶表征了无穷小趋近于0的快慢，故而在任意时刻，都会存在无穷多个无穷小还没来得及达到0，故而总乘积也不一定是无穷小。

Answer 2

不一定是无穷小 注意无穷小是极限的概念 就是一个数列的极限趋向于0
举一个例子
无穷多个数列
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6...
1 2 1/3 1/4 1/5 1/6...
1 1 9 1/4 1/5 1/6...
1 1 1 4^3 1/5 1/6...
第n个数列前n-1项为1 第n项为n^(n-1) 第n项以后为1/(n+1) 1/(n+2)...
这样n个数列的极限都为0 也就是都为无穷小 但是你把他们乘起来会发现 它们乘积每一项都是1 所以乘积的极限是1 不是无穷小

Answer 3

由于无穷小量有很多种，比如某个无穷小量的高阶或低阶无穷小，一个无穷小量乘以他的低阶无穷小，所得到的结果尽管还是无穷小，但一定比原来的无穷小大......所以，如此这样下去，无穷个无穷小量的乘积有可能不是无穷小