Question

求齐次线性方程组的基础解系和与通解

Answer 1

x4=k的话

x3当然是4k/3

通常在化简到

1 0 -1 0

0 1 0 3

0 0 3 -4

再r3/3，r1+r3，得到

1 0 0 -4/3

0 1 0 3

0 0 1 -4/3

这样直接得到解系为

（4/3,-3,4/3,1)^T

扩展资料：

求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

性质：

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。（克莱姆法则）

Answer 2

系数矩阵 A =
[1 -8 10 2]
[2 4 5 1]
[3 8 6 -2]
初等行变换为
[1 -8 10 2]
[0 20 -15 -3]
[0 32 -24 -8]
初等行变换为
[1 -8 10 2]
[0 20 -15 -3]
[0 4 -3 -1]
初等行变换为
[1 0 4 0]
[0 4 -3 -1]
[0 0 0 2]
初等行变换为
[1 0 4 0]
[0 4 -3 0]
[0 0 0 1]
方程化为
x1 = -4x3
4x2 = 3x3
x4 = 0,
取 x3 = 4， 得基础解系 (-16, 3, 4, 0)^T
则通解 x = k(-16, 3, 4, 0)^T