Question

线性代数中“关于用正交变换化二次型为标准型”的计算题，如下图片所示：

Answer 1

【分析】
二次型矩阵A为实对称矩阵。它的不同特征值的特征向量必正交。
【解答】
二次型矩阵A为
a
-1
1
-1
0
b
1
b
1
根据特征值，特征向量定义，Aα1=λ1α1，α1=（1，-1，0）T
，得
a+1=λ1
-1=-λ1
1-b=0
所以
a=0，b=1，λ1=1，矩阵A为
0
-1
1
-1
0
1
1
1
1
求解特征方程
|λE-A|=0，得λ1=1，λ2=√3，λ3=-√3
λ1=1时的特征向量为，α1=（1，-1，0）T
λ2=√3时的特征向量为，α2=（(√3-1)/2，(√3-1)/2，1）T
λ3=√3时的特征向量为，α3=（(-√3-1)/2，(-√3-1)/2，1）T
由于λ1，λ2，λ3不同，所以特征向量必正交，下面只需要单位化即可。
β1=（1/√2，-1/√2，0）T
β2=（(√3-1)/2(3-√2)，(√3-1)/2(3-√2)，1/(3-√2)）T
β3=（(-√3-1)/2(3+√2)，(-√3-1)/2(3+√2)，1/(3+√2)）T
令C=（β1，β2，β3）。C即为正交变换矩阵。
A的最大特征值为λ2=√3。存在正交变换x=Cy，可化f为标准型。
f=XTAX===λ1y1²+λ2y2²+λ3y3²
≤
λ2（y1²+y2²+y3²）
因正交变换不改变向量长度，故当XTX=x1²+x2²+x3²=2时，有y1²+y2²+y3²=2，于是
f=XTAX≤2λ2，①
对应的特征向量为α2。
由Aβ2=λ2β2，f=β2TAβ2=β2Tλ2β2=λ2β2Tβ2=2λ2
②
综合①②，即知
maxXTAX=2λ2=2√3.
【评注】
二次型
f=XTAX在XTAX=k的条件下，最大（小）值为A的最大（小）特征值，且最大（小）值在对应于最大（小）特征值的单位特征向量处取到。
newmanhero
2015年3月9日13:52:41
希望对你有所帮助，望采纳。