高数：设f(x)在[0,1]上有连续，在(0,1)内可导
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由介值定理,
存在c∈(0,1),
使f(c)
=
a/(a+b).
由lagrange中值定理,
存在ζ∈(0,c),
使f'(ζ)
=
(f(c)-f(0))/(c-0),
即有(a+b)c
=
a/f'(ζ).
又存在η∈(c,1),
使f'(η)
=
(f(1)-f(c))/(1-c),
即有(a+b)(1-c)
=
b/f'(η).
于是ζ
<
η满足a/f'(ζ)+b/f'(η)
=
a+b.
存在c∈(0,1),
使f(c)
=
a/(a+b).
由lagrange中值定理,
存在ζ∈(0,c),
使f'(ζ)
=
(f(c)-f(0))/(c-0),
即有(a+b)c
=
a/f'(ζ).
又存在η∈(c,1),
使f'(η)
=
(f(1)-f(c))/(1-c),
即有(a+b)(1-c)
=
b/f'(η).
于是ζ
<
η满足a/f'(ζ)+b/f'(η)
=
a+b.
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