Question

函数f(x)=√(x^2+1)/(x-1)的值域为( )

rt,要详细过程

Answer 1

方法一、首先定义域为x~=1;将右边式子的分母移到左边得到y*(x-1)=sqrt(x^2+1)再两边平方，得到(y^2-1)*x^2-2y^2*x+y^2-1=0;讨论y是否为+-1，结论是y可能为-1(x=0时成立)，不可能为+1，因为当y>0时，x>1,此时解原方程无解.再用德尔塔判别法则，将x看做变量，得到y>=sqrt(2)/2或y<=-sqrt(2)/2且y不等于+-1;符号凑活着看，应该看得懂
方法二、令t=x-1;得到t>0时,y=sqrt(x^2+1)/t=sqrt(1+1/t+1/t^2),再令1/t=u,得到y=sqrt(2*u^2+2*u+1)
=sqrt(2(u+1)^2+1/2)>=sqrt(2)/2(u>0);t<0,得到y=-sqrt(2*u^2+2*u+1)<=-sqrt(2)/2
换元法以及德尔塔判别法很常用，后者主要适用于分式型的