Question

解微分方程y^(4)+4y''=0

Answer 1

方法一：

y''''-4y=0

即y''''+2y''-2y''-4y=0

即(y''+2y)''-2(y''+2y)=0

为方便计，令z=y''+2y，则有：

z''-2z=0

解得通解为：

z=a*e^{√2x}+b*e^{-√2x}，其中a、b为积分常数，取任意实数。

从而y''+2y=a*e^{√2x}+b*e^{-√2x}

使用常数变异法，令上述方程的通解为：

y=u*e^{√2x}+v*e^{-√2x}其中u、v为x的函数；代入化简可得：

u''+2√2u'+4u=a

v''-2√2v'+4v=b

令p=u-a/4，q=v-b/4得：

p''+2√2p'+4p=0

q''-2√2q'+4q=0

分别解得：

p=e^{-√2x}[ccos(√2x)+dsin(√2x)]

q=e^{√2x}[ecos(√2x)+fsin(√2x)]

即：

u=a/4+e^{-√2x}[ccos(√2x)+dsin(√2x)]

v=b/4+e^{√2x}[ecos(√2x)+fsin(√2x)]

从而得：

y=(a/4)*e^{√2x}+ccos(√2x)+dsin(√2x)+(b/4)*e^{-√2x}+ecos(√2x)+fsin(√2x)

=(a/4)*e^{√2x}+(b/4)*e^{-√2x}+(c+e)cos(√2x)+(d+f)sin(√2x)

若以c1、c2、c3、c4代换上面四个积分常数a/4、b/4、c+e、d+f

则得通解为：

y=c1e^{√2x}+c2e^{-√2x}+c3cos(√2x)+c4sin(√2x)