1•1!+2•2!+...+n•n!=(n+1)!-1 用数学归纳法证明
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证明1当n=1时,左边=1*1!=1,右边=(1+1)!-1=2-1=1
即左边=右边
2假设n=k（k≥1）是结论成立
即1•1!+2•2!+...+k•k!=(k+1)!-1
那么当n=k+1时,
1•1!+2•2!+...+k•k!+（k+1）（k+1）!
=(k+1)!-1+（k+1）（k+1）!
=(k+1)!+（k+1）（k+1）!-1
=[1+（k+1）]（k+1）!-1
=（k+2）（k+1）!-1
=（k+2）!-1
=（k+1+1）!-1
即n=k+1式结论成立
故综上知原命题成立.
即左边=右边
2假设n=k（k≥1）是结论成立
即1•1!+2•2!+...+k•k!=(k+1)!-1
那么当n=k+1时,
1•1!+2•2!+...+k•k!+（k+1）（k+1）!
=(k+1)!-1+（k+1）（k+1）!
=(k+1)!+（k+1）（k+1）!-1
=[1+（k+1）]（k+1）!-1
=（k+2）（k+1）!-1
=（k+2）!-1
=（k+1+1）!-1
即n=k+1式结论成立
故综上知原命题成立.
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