Question

下列四个命题中：①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f...

下列四个命题中： ①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点； ②若f′（x）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值； ③当m≥-1时，则函数y=log12（x2-2x-m）的值域为R； ④“a=1”是“函数f（x）=a-ex1+aex在定义域上是奇函数”的充分不必要条件； 其中真命题是_____．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

①②③
解：①对于函数f（x）=lnx-2+x，f′(x)=1x+1，∴函数在区间（1，e）上单调递增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根据函数零点的判定定理可得，在区间（1，e）上存在零点，故①正确．
②不正确，如当f（x）=x3时，显然满足f′（0）=0，但y=f（x）=x3
在x=0处没有极值．
③m≥-1，函数y=log12(x2-2x-m)的真数为x2-2x-m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，所以函数y=log12(x2-2x-m)的值域为R，故③正确．
④由a=1可得f(x)=1-ex1+exf（x）=定义域为R，关于原点对称f(-x)=1-e-x1+e-x=ex-1ex+1=-f（x），故函数在定义域上是奇函数，故充分性成立．
函数f(x)=a-ex1+aex在定义域上是奇函数，则有f（0）=0，∴a=1，故必要性成立，故“a=1”是“函数f(x)=a-ex1+aex在定义域上是奇函数”的充分必要条件，故④不正确．
故真命题是①②③
故答案为：①②③