Question

已知函数f（x）=cos2x+3sin2x（1）求函数f（x）的单调增区间；（2...

已知函数f（x）=cos2x+3sin2x （1）求函数f（x）的单调增区间； （2）当 x∈[0，π4]时，求函数f（x）的值域； （3）若将该函数图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=cos2x+3sin2x=2sin（2x+π6）令u=2x+π6则函数y=sinu的单调增区间为
[-π2+2kπ，π2+2kπ]k∈Z（5分）
由
-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，得：
-π3+kπ≤x≤π6+kπk∈Z
函禅旅数y=2sin（2x+π6）的单调增区间为：[-π3+kπ，π6+kπ]k∈Z
（2）当 x∈[0，π4]时，π6≤2x+π6≤2π3，2sin（2x+π6）∈[1，2]，运袭睁
所旁岁以函数f（x）的值域[1，2]．
（3）若将该函数图象向左平移π4个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin（[2（x+π4）+π6]=2sin（2x+2π3）的图象，
令2x+2π3=kπ．k∈Z
x=-π3 +kπ2
k∈Z．
所以函数y=g（x）的对称中心（-π3+kπ2，0）
k∈Z．