Question

已知齐次线性方程的通解,如何求原方程?

Answer 1

设：y1线性无关的解，y2=u（x）e^x，代入原齐次微分方程

（2x-1）（u''+2u'+u）-（2x+1）（u'+u）+2u=0

令u'=p，则（2x-1）p'=-（2x-3）p

dp/p=-（2x-3）dx/（2x-1）=［-1+2/（2x-1）］dx

lnp=-x+ln（2x-1）+lnC1

u'=p=C1（2x-1）e^（-x）

u=C1∫（2x-1）e^（-x）dx=-C1∫（2x-1）de^（-x）

=-C1（2x+1）e^（-x）+C2

取C1=-1，C2=0，得一个特解u=（2x+1）e^（-x）

y2=2x+1，通解y=Ae^x+B（2x+1）

含义

称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。