Question

点到直线的距离是什么?

Answer 1

点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。

点到线的距离公式的证明过程：

根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长。

设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A。

则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)。

把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))。

由两点间距离公式得

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2

+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2

+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2

+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

垂线是一条直线，可以向两段无限延伸，没有长度。垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度。

垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。垂线段：线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。

如何画垂足

画垂足就需要画出来两条相交的直线，需要用到直尺和直角三角尺。先过一个点任意画一条直线，把直尺的一条边和已经画好的那条直线重合放好，然后把直角三角尺的其中一个直角边告念靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况。

慢慢移动直角三角尺，直到直尺三角尺的顶点和刚刚过某个点画直线的那个点重合，最后沿着直角三悉友毕角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。在两条直线相交的地方点出来相交的点，用任意字母表示出来，然后画上一横一竖组成正方形的小框框，就表示这个角是直角，这睁芹两条直线相互垂直，所以点出来的这个点就是垂足。