f(x)=x-m(e的x次方)有两个零点x1x2,证明：x1+x2>2
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解答 解：∵f（x）有两个相异零点，
∴设
e
x
1
ex1=ax1，
e
x
2
ex2=ax2，①
即
e
x
1
ex1
e
x
2
ex2=
e
x
1
+
x
2
ex1+x2=a2x1x2，
而：x1+x2＜2lna，等价于：
e
x
1
+
x
2
ex1+x2＜e2lna=
e
l
n
a
2
elna2=a2，
即a2x1x2＜a2，
则等价为x1x2＜1
函数的f（x）的导数f′（x）=ex-a，
若a≤0，则f′（x）=ex-a＞0，还是单调递增，则不满足条件．
则a＞0，
由f′（x）＞0得x＞lna，
由f′（x）＜0得x＜lna，
即当x=lna时，还是f（x）取得极小值同时也是最小值f（lna）=elna-alna=a（1-lna），
∵f（x）有两个零点，∴a（1-lna）＜0，
即1-lna＜0，则lna＞1，即a＞e．
要证x1+x2＜2lna，则只需要x2＜2lna-x1，
又x2＞lna，则只需要证明f（x2）＜f（2lna-x1），
即证f（2lna-x1）＞f（x2）=0=f（x1），
令g（x）=f（2lna-x）-f（x），（x＜lna），
则g（x）=e2lna-x-a（2lna-x）-ex+ax，
g′（x）=-a2e-x+a-ex+a=
−
a
2
+
2
a
e
x
−
e
2
x
e
x
−a2+2aex−e2xex=-
（
e
x
−
a
）
2
e
x
（ex−a）2ex≤0，
即g（x）在（-∞，lna]上单调递减，
即g（x）＞g（lna）=0，
咨询记录 · 回答于2022-06-05
f(x)=x-m(e的x次方)有两个零点x1x2,证明：x1+x2>2
解答 解：∵f（x）有两个相异零点，∴设ex1ex1=ax1，ex2ex2=ax2，①即ex1ex1ex2ex2=ex1+x2ex1+x2=a2x1x2，而：x1+x2＜2lna，等价于：ex1+x2ex1+x2＜e2lna=elna2elna2=a2，即a2x1x2＜a2，则等价为x1x2＜1函数的f（x）的导数f′（x）=ex-a，若a≤0，则f′（x）=ex-a＞0，还是单调递增，则不满足条件．则a＞0，由f′（x）＞0得x＞lna，由f′（x）＜0得x＜lna，即当x=lna时，还是f（x）取得极小值同时也是最小值f（lna）=elna-alna=a（1-lna），∵f（x）有两个零点，∴a（1-lna）＜0，即1-lna＜0，则lna＞1，即a＞e．要证x1+x2＜2lna，则只需要x2＜2lna-x1，又x2＞lna，则只需要证明f（x2）＜f（2lna-x1），即证f（2lna-x1）＞f（x2）=0=f（x1），令g（x）=f（2lna-x）-f（x），（x＜lna），则g（x）=e2lna-x-a（2lna-x）-ex+ax，g′（x）=-a2e-x+a-ex+a=−a2+2aex−e2xex−a2+2aex−e2xex=-（ex−a）2ex（ex−a）2ex≤0，即g（x）在（-∞，lna]上单调递减，即g（x）＞g（lna）=0，
没看懂，ex1是什么？
设定的未知数。
都是x不是乘号吧？
嗯是的，不是乘号。
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