Question

从2到8七个数选两个不同的数,这两个数互质的概率是多少

Answer 1

问：从2到8七个数选两个不同的数,这两个数互质的概率是多少

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答：您好朋友，从2到8七个数选两个不同的数,这两个数互质的概率约是57.1%

答：纠正一下：概率就是63/100=0.63。

答：研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式：

答：数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和，用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式，我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：

答：然后，我们给出了欧拉乘积公式的证明。如果把n-s记作f(n)，左边就是无穷级数Σn f(n)。对这个无穷级数乘以[1 - f(2)]，就会消掉所有的f(2n)项。再乘以[1 - f(3)]，就会消掉剩下的项中所有的f(3n)项。再乘以[1 - f(5)]，就会消掉剩下的项中所有的f(5n)项。把这样的操作重复无限多次，就会消掉所有的质数的倍数对应的项，也就是消掉所有的大于1的自然数对应的项，最后只剩下f(1)这一项，它等于1。把所有乘上去的[1 - f(2)] [1 - f(3)] [1 - f(5)]…等等移到右边去，就是欧拉乘积公式的右边Πp [1 - f(p)]-1。这样，我们就证明了欧拉乘积公式。

答：两个自然数互质的意思，就是它们没有共同的质因数，换句话说就是，它们的最大公约数是1。例如2和3互质，2和15互质，但15和21不互质，因为15和21都以3作为质因数。很快可以看出，任意两个不同的质数是互质的，一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的，1和任意自然数都是互质的。

答：首先，考虑两个自然数有公约数2的概率。这等价于它们都可以表示成2n，而所有可以表示成2n的自然数在所有的自然数当中占据的比例是1/2。因此，任选一个自然数，它可以表示成2n的概率是1/2。而任选两个自然数，它们都可以表示成2n的概率就是1/2的平方，这就是它们有公约数2的概率。那么作为跟这种情况互补的情况，两个自然数没有公约数2的概率，就是1-1/22。然后，根据同样的推理，两个自然数没有公约数3的概率，就是1-1/32。继续下去，两个自然数没有公约数5的概率，就是1-1/52，如此等等。最后，两个自然数互质，就等价于它们的公约数既没有2，也没有3，也没有5等等，没有任何一个质数。因此，两个自然数互质的概率等于上面各个概率乘起来，

答：它就是s = 2的时候欧拉乘积公式右边那个连乘的倒数！因此，它等于s = 2时欧拉乘积公式左边那个连加的倒数，也就是1/ζ(2)。

答：也就是所有自然数的平方倒数的和。

答：对于当前的目的，把ζ(2) = π2/6代进去，我们就知道了：两个自然数互质的概率等于6/π2！数值计算一下，它约等于60.79%。