Question

齐次线性方程组是否有无穷多解？

Answer 1

无穷解的条件分别是Ax=0无非零解时，则A为满秩矩阵。

则Ax=b一定有解。

Ax=0有无穷多解时，则A一定不为满秩矩阵。

Ax=b的解得情况有无解和无穷多解。

无解：R(A)≠R(A|b)。

无穷解：R(A)等于R(A|b)。且不为满秩。

Ax=b无解时，可知Ax=0一定有无穷多解。

Ax=b 有唯一解时，可知A为满秩矩阵，则Ax=0只有零解。

齐次线性方程组，要么零解（R(A)=n），要么无穷解（R(A)<n)。

重要定理

1、每一个线性空间都有一个基。

2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

3、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

6、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

7、解线性方程组的克拉默法则。

8、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。