Question

什么是曲线积分？如何计算曲线积分？

Answer 1

曲线积分一般分为两类，对弧长的曲线积分，就是形如∫L f(x,y)ds ,L为积分曲线。而另一类也是对坐标的曲线积分，形如∫L f(x,y)dx+g(x,y)dy, L为积分曲线。

1.对弧长的线积分计算常用的有以下两种计算方法：

平面上对坐标的线积分（第二类线积分）计算常用有以下四种方法：

（1）直接法

就是将积分曲线关系直接带入被积函数转化为单一变量积分！

（2）利用格林公式

应用格林公式一定要注意以下两点：

a.P(x,y),Q(x,y)在闭区间D上处处有连续一阶偏导数

b.积分曲线L为封闭曲线且取正向。

（3）补线后用格林公式

若要计算的线积分的积分曲线不封闭，但直接法计算不方便时，此时可补一条曲线，使原曲线变成封闭曲线。

这里给个提示：再没有使用格林公式之前，积分曲线的变量关系可以随便带入积分表达式，一旦使用了格林公式，现在就成了二重积分，就不再满足积分曲线的变量的等量关系了。