Question

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c=2,a+b=ab，c=π/3，求△ABC

Answer 1

解：等式左边 = sin(A+B) + sin(B-A) (利用C = π-A-B) = 2sinBcosA (和差化积公式，或者直接展开)；等式右边 = 2sin2A = 4sinAcosA （正弦2倍角公式）左边=右边，推出： sinB = 2sinA，于是根据正弦定理，角度对应的边长肯定也服从相同的关系：b = 2a。根据余弦定理，c = 2 = sqrt (a^2 + b^2 - 2abcosC) = sqrt (a^2 + 4a^2 - 2a*2a*1/2) （代入b = 2a，以及C = π/3） = sqrt (3a^2) = sqrt(3) * a于是 a = 2/sqrt(3)，b = 4/sqrt(3)，三角形面积S为S = 1/2 ab sinC = 1/2*8/3*sqrt(3)/2 = 2sqrt(3) / 3不好意思漏解了，多谢楼上提醒。我一开始化简的时候得到：2sinBcosA = 4sinAcosA，除了sinB = 2sinA这个情况外，还可以有cosA = 0.这种情况下的解楼上都算出来了，由于角A是90度，所以面积S = 1/2 bc = 1/2 * 2 * 2/sqrt(3) = 2sqrt(3)/3。和第一种情况的面积一样，只是a,b的长度调换了位置。

Answer 2

余弦定理得：
c^2=4=a^2+b^2-2abcosC=(a+b)^2-3ab=(ab)^2-3ab。
(ab)^2-3ab-4=0
(ab+1)(ab-4)=0
因为ab+1>0，所以ab-4=0、ab=4。
三角形ABC的面积=(1/2)absinC=√3。应该就是这样的

Answer 3

余弦定理得：
c^2=4=a^2+b^2-2abcosC=(a+b)^2-3ab=(ab)^2-3ab。
(ab)^2-3ab-4=0
(ab+1)(ab-4)=0
因为ab+1>0，所以ab-4=0、ab=4。
三角形ABC的面积=(1/2)absinC=√3。