Question

概率论证明题

Answer 1

记：c = P(AB)
a = P(A-B) = P(A) - P(AB)
b = P(B-A) = P(B) - P(AB)
所以：P(A) = a+c，P(B) = b+c

求证的就是：|c - (a+c)(b+c)| <= 1/4

因为：a+b+c <= 1
所以：c - (a+c)(b+c) = c - ab - c(a+b+c) >= c - ab - c = -ab

又因为：c - (a+c)(b+c) = (c - c^2) - ab - ac - bc <= c - c^2
所以：-ab <= c - (a+c)(b+c) <= c-c^2

由平均值不等式，ab <= ((a+b) / 2)^2 <= (1/2)^2 = 1/4，所以：-ab >= -1/4
又因为：c - c^2 = 1/4 - (1/2 - c)^2 <= 1/4
所以：-1/4 <= c - (a+c)(b+c) <= 1/4

证完了。

追问

神啊 硬生生滴把一道大学的概率论题 给改写成高中的不等式证明了·

追答

哈哈。

BTW：如果没有别的疑问，那就采纳吧。