Question

将一枚质地均匀正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）先后抛掷两次，向上一面的点数依次记为

将一枚质地均匀正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）先后抛掷两次，向上一面的点数依次记为a和b，记函数f（x）=ax-blnx．（1）若第一次抛掷骰子得到的数字是1，求再次抛掷骰子时，使函数y=f（x）在区间（3，+∞）递增的概率；（2）求函数y=f（x）存在零点的概率．

Answer 1

（1）a=1时，f′(x)＝

x?b

x

，
f（x）在区间（3，+∞）递增，
∴x＞3时f'（x）≥0恒成立，
需x＞3时b≤x恒成立，
所以b≤3，即b=1，2，3；
设第二次抛掷骰子时，
使函数y=f（x）在区间（3，+∞）递增为事件A，
p(A)＝

3

6

＝

1

2

；
（2）∵f′(x)＝

ax?b

x

，
∴f'（x）＞0时，x＞

b

a

，f'（x）＜0时，0＜x＜

b

a

；
函数f（x）在区间(0，

b

a

)递减，在区间(

b

a

，+∞)递增，
∴f(x)min＝f(

b

a

)＝b(1?ln

b

a

)，
∴b＞0，∴x＞0且x→0时ax-blnx→+∞，
所以若函数f（x）存在零点，需∴f（x）_min≤0，需1?ln

b

a

≤0，
所以

b

a

≥e，a=1时，b=3，4，5，6；a=2时，b=6；
设函数y=f（x）存在零点为事件B，
P(B)＝

5

6×6

＝

5

36

．