Question

已知函数f（x）=23sinx?cosx+2cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（α2）=13，α∈[0，

已知函数f（x）=23sinx?cosx+2cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（α2）=13，α∈[0，π]，求cos（α+π6）的值．

Answer 1

（1）f（x）=2

3

sinx?cosx+2cos²x
=

3

sin2x+cos2x+1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，x∈R…（4分）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．…（6分）
（2）∵f（

α

2

）=2sin[2（

α

2

）+

π

6

]+1
=2sin（α+

π

6

）+1
=

1

3

，…（7分）
∴sin(α+

π

6

)＝?

1

3

＜0，…（8分）
∵α∈[0，π]，∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴α+

π

6

∈(π，

7π

6

]，
∴α∈(

5π

6

，π]时，cos(α+

π

6

)＜0，…（10分）
∴cos(α+

π

6

)＝?

2 2

3

．…（12分）