Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE ∥ 平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

证明：（1）取PD的中点M， ∵E是PC的中点 ∴ME是△PCD的中位线 ∴ME ∥ FB ∴四边形MEBF是平行四边形∴BE ∥ MF ∵BE?平面PDF，MF?平面PDF ∴BE ∥ 平面PDF． （2）连接BD，易得△ABD为等边三角形 又由F为AB的中点 ∴DF⊥AB 又∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥DF 又由PA∩AB=A ∴DF⊥平面PAB 又∵DF?平面PDF ∴平面PDF⊥平面PAB． （3）过点A做AH⊥CB延长线于H，因为PA⊥面ABCD，所以PH⊥BC，既∠PHA为二面角P-BC-A的平面角， 在Rt△ABC中 PA=1，AH= 3 ，所以∠PHA=30° 既二面角P-BC-A的大小为30°．