Question

（2014?遂宁）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．（1

（2014?遂宁）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：PD2=PB?PA．（3）若PD=4，tan∠CDB=12，求直径AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴弧BD=弧BC，
∴∠DOP=∠COP，
在△DOP和△COP中，

DO＝CO ∠DOP＝∠COP OP＝OP

，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO=∠PCO=90°，
∵D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠PDO=90°，
∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠A=∠PDB，
∵∠P=∠P，
∴△PDB∽△PAD，
∴

PD

PB

＝

PA

PD

，
∴PD²=PA?PB；

（3）解：∵DC⊥AB，
∴∠ADB=∠DMB=90°，
∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°，
∴∠A=∠CDB，
∵tan∠CDB=

1

2

，
∴tanA=

1

2

=

BD

AD

，
∵△PDB∽△PAD，
∴

PB

PD

=

PD

PA

=

BD

AD

=

1

2

∵PD=4，
∴PB=2，PA=8，
∴AB=8-2=6．