已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象的一个最高点为(3,4)由这个最高点到相邻最低

已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象的一个最高点为(3,4)由这个最高点到相邻最低点,图象与x轴交于(7,0)点.(1)试求函数的解析式... 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象的一个最高点为(3,4)由这个最高点到相邻最低点,图象与x轴交于(7,0)点.(1)试求函数的解析式.(2)作出这个函数在一个周期内的图象(3)求函数的最小正周期,并写出函数图象的对称轴以及对称中心. 展开
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(1)由图象最高点(3,4)知A=4.
又由题意知从最高点到相邻最低点相交x轴于(7,0),
T
4
=7-3=4,
即T=16.
∴ω=
T
=
π
8

∴y=4sin(
π
8
x+φ)…(2分)
代入最高点坐标,得4=4sin(
π
8
×3+φ)
sin(
8
+φ)=1

8
+φ=2kπ+
π
2
,k∈Z

|φ|<
π
2

φ=
π
8
,…(8分)
∴函数解析式为y=4sin(
πx
8
+
π
8
)
.…(4分)
(2)函数在一个周期内的图象如下图所示:
..(8分)

(3)由(1)知y=f(x)=4sin(
πx
8
+
π
8
)

f(x+16)=4sin(
π(x+16)
8
+
π
8
)
=4sin[(
πx
8
+
π
8
)+2π]=4sin(
πx
8
+
π
8
)=f(x)

∴函数f(x)的最小正周期为16,…(10分)
∴函数图象的对称轴方程为:x=8k+3,k∈Z.
对称中心为:(8k-1,0),k∈Z.…(12分)
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