Question

已知函数f（x）=ax2-lnx-1（a∈R），求f（x）在[1，e]上的最小值

已知函数f（x）=ax2-lnx-1（a∈R），求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

f′（x）=2ax-

1

x

=

2ax2?1

x

，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上为减函数，所以f（x）的最大值为f（1），最小值为f（e）=ae²-2．
当a＞0时，令f′（x）=0得2ax²=1，①
由①得x=

1 2a

，
（1）若

1 2a

≤1，即a≥

1

2

时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴最小值为f（1）=a-1
（2）若1＜

1 2a

＜e，即

e2

2

＜a＜

1

2

时，f（x）在（1，

1 2a

）上为减函数，在（

1 2a

，e）上为增函数，
∴当x=

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