Question

（2012?郑州二模）选修4-1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于

（2012?郑州二模）选修4-1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=3，EA=2AC，求AF的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AD，BC．

因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，
故A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，
所以△EFA∽△BCA，所以

AF

AC

＝

AE

AB

所以AF×AB=AC×AE
设AF=a，则AB=3-a，所以a（3-a）=

1

2

(3+a2)，所以a²-2a+1=0，解得a=1
所以AF的长为1．