Question

题目：已知A,B为锐角。且sinA/cosB+sinB/cosA=2。求证：A+B=直角。

请问“设x=cosA/sinB,则x+1/x=2,”这个x+1/x=2是怎么得出来的，是看错题目了？

Answer 1

那就用反证法吧..
1.假如C>90°,则A+B<90°，0°<A< 90°-B< 90°，
所以0<sinA<sin(90°-B)=cosB
同理由A+B<90°,得0°<B<90°-A<90°,
所以0<sinB<sin(90°-A)=cosA
所以cosA/sinB>1,cosB/sinA>1
所以cosA/sinB+cosB/sinA>2,这与已经知cosA/sinB+cosB/sinA=2矛盾,所以C不大于90°.

2).假如C<90°,则A+B>90°,0°<90°-B<A<180°,
所以0<cosA<cos(90°-B)=sinB
同理由A+B>90°,得0°<90°-B<A<180°,
所以0<cosA<cos(90°-A)=sinA
所以cosA/sinB<1,cosB/sinA<1
所以cosA/sinB+cosB/sinA<2,这与已经知cosA/sinB+cosB/sinA=2矛盾,所以角C不小于90°

△ABC中
SINA>0 SINB>0
所以 COSA/SINB+COSB/SINA=2 去分母,得
SINA*COSA+SINB*COSB=2SINA*SINB
整理得
SINA(COSA-SINB)=SINB(SINA-COSB)
若SINA>COSB 则 COSA<SINB,若COSA>SINB 则SINA<COSB 上式均不成立
所以SINA=COSB
因为 SINA=COS(90-A)
所以 B=90-A
所以 △ABC=Rt△

Answer 2

我有个方法，但是复杂了一点：
设：X=A+B,Y=A-B,∴（0<X<π，-π/2<Y<π/2)
先通分化简：sinAcosA+sinBcosB=2cosAcosB
∴sin2A+sin2B=4cosAcosB
∴sin(X+Y)+sin(X-Y)=2(cosX+cosY)
∴2sinXcosY=2(cosX+cosY)
∴若X=A+B≠π/2
那么，1-sinX≠0
∴cosY=cosX/(1-sinX)
∴由Y的范围得到：0<cosX/(1-sinX)<1
∴cosX>0,且cosX+sinX<1
矛盾（∵(cosX+sinX)^2=1+2sinXcosX>1,X∈(0，π)时sinX>0,又有上面得到：cosX>0)
∴X=A+B=π/2