Question

这道题怎么做。。。反函数导数题

Answer 1

利用反函数的导数＝原函数导数的倒数

求出g'(2)的值

再利用复合函数的求导法则

求y＝g(1+x平方)在x＝1的导数

结果＝1/2

过程如下：

Answer 2

g（1+x平方）在x＝1处的导数就是g'（2），因为f（1）＝2，反函数的导数等于原函数导数的倒数g'（x）＝1/f'(x)，所以g'（2）＝1/f'（1）［因为互为反函数，所以g（x）里的x其实是f（x）的y。。所以当g里x取2时，f这里x取y为2时x的值，即为1。］我也是今天做到这个反函数取值的题才明白的😂

Answer 3

引用4416210960的回答：
利用反函数的导数＝原函数导数的倒数
求出g'(2)的值

再利用复合函数的求导法则
求y＝g(1+x平方)在x＝1的导数
结果＝1/2

过程如下：

这道题“随便玩玩可以吗”给出的答案虽然正确，但我认为步骤有错误，他算出正确答案是巧合，我先分析他为什么错了。
第一 他把y=g(x)写成x=g(y)并代入y=f(x)，然后又求导，对于x=g(y)来说y仍然是自变量，只不过就是换了字母而已，函数关系并没有变，所以对于他的下方对f(x)求导有错误。
第二 他并没有用到f(1)=2这个条件，所以可以断定他的步骤必然有错。
正确做法如下：
先对g(1+x²)进行求导得 g'(1+x²)×2x,然后将x=1代入得2g'(2),此时的关键是求g'(2)的值
∵y'=f'（x),反函数的导数为原函数导数的倒数
∴ g'(x)=1/f'(x)
g'(x)中的x相当于原函数中的y(仔细理解这句话)
∵f(1)=2
∴此时x=1
∴g'(2)=1/f'(1)
f'(1)=4
∴g'(2)=1/4
2g'(2)=1/2