Question

曲线y=1+1/x+3的渐进线

曲线y=1+1/x+3的渐进线

Answer 1

依次求一阶、二阶导数如下：y'=[(x²+1)-(x+1)(2x)]/[(x²+1)²]=(-x²-2x+1)/[(x²+1)²]y"=[(-2x-2)(x²+1)²-(-x²-2x+1)(4x)(x²+1)]/[(x²+1)^4]=2(x³+3x²-3x-1)/[(x²+1)³]=2(x-1)(x²+4x+1)/[(x²+1)³]令y"=0，可解得x(1)=1，x(2)=-2+√3，x(3)=-2-√3考虑y"在上述解分成的4个区间的符号变化规律，可知上述解均为拐点的横坐标，代入y的解析式，可得拐点纵坐标为y(1)=1，y(2)=(1+√3)/4，y(3)=(1-√3)/4即曲线y的三个拐点为A(1，1)，B(-2+√3，(1+√3)/4)，C(-2-√3，(1-√3)/4)考虑向量，AB=(-3+√3，(-3+√3)/4)=√3·(-√3+1，(-√3+1)/4)BC=(-3-√3，(-3-√3)/4)=√3·(-√3-1，(-√3-1)/4)由于向量AB、BC的横、纵坐标对应成比例，所以AB∥BC，而B为公共点所以A、B、C共线。