Question

幂级数求和问题

幂级数求和问题幂级数求和问题，常用的方法是逐项求导和逐项积分，那么请问，一道幂级数求和问题中，可以既使用逐项求导，又使用逐项积分吗？

Answer 1

幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。

以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：

一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x)

计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。

二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式

解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心到x积分。

解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。

三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式

解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。

解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。

四、含阶乘因子的幂级数

（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数

（2）逐项求导、逐项积分法

（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数

题中的类型为第二种类型