Question

求解高数题目

Answer 1

求函数u=xy+2yz在约束条件x²+y²+z²=10下的最大值和最小值；
解：作函数F(x，y，z)=xy+2yz+λ(x²+y²+z²-10);
令∂F/∂x=y+2λx=0........①;
∂F/∂y=x+2z+2λy=0.....②;
∂F/∂z=2y+2λz=0..........③
x²+y²+z²=10...................④
z×①得：yz+2λxz=0.........⑤；x×③得：2xy+2λxz=0..........⑥
⑥-⑤得：2xy-yz=y(2x-z)=0；故y=0(舍去)或z=2x；【若y=0，则x=0，z=0，与④式矛盾】
y×①得：y²+2λxy=0........⑦； x×②得：x²+2xz+2λxy=0..........⑧
⑧-⑦，并将z=2x代入得：x²-y²+2xz=5x²-y²=0; ∴ y²=5x².........⑨；
将⑧⑨代入④式得：x²+5x²+4x²=10x²=10；∴ x²=1；x=±1；y=±√5；z=±2;
【驻点有许多种组合，不一 一列举了。】
当x=1, y=√5，z=2(或x=-1，y=-√5，z=-2)时获得最大值umax=(√5) +4√5=5√5;
当 x=1，y=-√5， z=2 时获得最小值umin=-(√5)-4√5=-5√5；
【获最小值还有多种组合，只要xy<0，yz<0(x，z同号，y异号)可得最小值-5√5】