Question

√（x²+1)的不定积分推导过程

Answer 1

∫
√(x²+1)
dx=(1/2)x√(x²+1)
+
(1/2)ln(√(x²+1)+x)
+
C。C为积分常数。
解答过程如下：
令x=tanu，则√(x²+1)=secu，dx=sec²udu
=∫
sec³u
du
下面计算
∫sec³udu
=∫
secudtanu
=secutanu
-
∫
tan²usecudu
=secutanu
-
∫
(sec²u-1)secudu
=secutanu
-
∫
sec³udu
+
∫
secudu
=secutanu
-
∫
sec³udu
+
ln|secu+tanu|
将-
∫
sec³udu移支等式左边与左边合并后除以系数得：
∫sec³udu=(1/2)secutanu
+
(1/2)ln|secu+tanu|
+
C
因此原式=(1/2)secutanu
+
(1/2)ln|secu+tanu|
+
C
=(1/2)x√(x²+1)
+
(1/2)ln(√(x²+1)+x)
+
C
扩展资料：
常用e799bee5baa6e997aee7ad94e59b9ee7ad9431333431343730积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2)
dx=arcsinx+c
求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。