Question

已知a>b>c，a+b+c=1，a的平方加b的平方加c的平方等于1；求证：1<a+b<3/4

Answer 1

a+b+c=1所以（a+b+c）^2=1所以a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1
又因为a^2+b^2+c^2=1，所以2ab+2ac+2bc=0.所以至少有一个数小于0。至少有一个大于0
因为a>b>c，.c最小，所以c必定小于0，a必定大于0
由a+b+c=1得a+b>1。又a^2+b^2+c^2=1，所以a<1.所以b>0
2ab+2ac+2bc=0
ac<0所以2ab+2bc>0.b(a+c)>0.所以绝对值a>绝对值c。即a^2>c^2.
同理
bc<0。2ab+2ac>0.a(b+c)>0.所以绝对值b>绝对值c
.即b^2>c^2.
又a^2+b^2+c^2=1
所以3c^2<1.
.....后面算不下去了
1<a+b<3/4这个式子必然是错的
后面的3/4应该是4/3吧
这样才会大于1

Answer 2

∵a+b+c=1,∴c=1-a-b
∵a^2+b^2+c^2=1
∴a^2+b^2+(1-a-b)^2=a^2+b^2+(a+b)^2-2(a+b)+1=1
∴(a+b)^2+(a^2+b^2)-2(a+b)=0
①
∵a^2+b^2>2ab(a=b时可以取等,但这道题明确a≠b)
∴2(a^2+b^2)>(a+b)^2,即a^2+b^2>(a+b)^2/2
将不等式代入①
0>(a+b)^2+(a+b)^2/2-2(a+b)
=(3/2)(a+b)^2-2(a+b)
=(3/2)(a+b)(a+b-4/3)
∴0<a+b<4/3