Question

一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分,求该曲线的方程.

Answer 1

设曲线为y=f(x),设P（x0,y0)为曲线上一点
则切线为：f'(x0)(x-x0)=y-y0
令x=0
y=y0-x0f'(x0)
因P平分线段则y0-x0f'(x0)=2y0
f'(x0)=-y0/x0
则-xf'(x)=f(x)
设f(x)=g(x)/x
则g(x)/x==-x[-g(x)/x²+g'(x)/x]
=>g'(x)=0
则g(x)=c（c为任意实数）
则f(x)=c/x
由于f(x)经过（2，3）点
故f(x)=6/x

Answer 2

由已知，取曲线上任意点（x，y），可见过该点的切线斜率都是-y/x，只有这样才能保证切点平分切线

所以

y‘=-y/x

y'/y=-1/x

∫(y'/y)dy=∫(-1/x)dx

lny=-lnx+c

lny=ln1/x+lnc'

lny=lnc'/x

y=c'/x

因为过（2,3)点，所以c'=6

所以y=6/x

本题无他，就是根据导数是切线斜率的几何意义，解一个微分方程