Question

请教高一数学问题!

已知y=2x/(3x-4),求值域。（用换元法解） 希望能有详细解答步骤及思路，谢谢！最好是能够说明一下换元法解函数问题的优点及方法，不胜感激！ 另：我们老师还介绍了从反比例函数角度来解的方法，但是我根本不知道他在讲什么，可以的话请介绍一下好吗？

Answer 1

你出的题目分子分母都是一次式的线性分式函数,可化成反比例函数形式xy=k,比如y=2x/(3x-4)=[(2/3)(3x-4)+(8/3)]/(3x-4)=(2/3)-[8(3x-4)/3],即(3x-4)(y-2/3)=8/3,由y=(2/3)-[8(3x-4)/3],可看出y≠2/3
这类题不用换元,我们叫做"配凑法",即在分子上配分母(3x-4),凑常数(2/3)
下面这些题型要用换元法:
y=ax+b+√(cx+d),令√(cx+d)=t≥0,换元的目的是脱去根号,化为y=mt^+nt+p(二次函数)
y=m(log_a_x)^+n(log_a_x)+p,令(log_a_x)=t,换元的目的是脱去对数,化为y=mt^+nt+p(二次函数)
y=m(sinx)^+n(sinx)+p,令sinx=t,t∈[-1,1],换元的目的是脱去三角函数,化为y=mt^+nt+p(二次函数)
y=√(a^-x^),令x=asinα,α∈[-π/2,π/2],换元的目的是脱去根号,化为y=acosx
还有很多,不能一一枚举,换元的目的不外乎,变根式为整式,化超越函数(指数,对数,三角函数等)为代数函数,降次等等.而转化为二次函数
又是最基本的方法
不断积累总结,举一反三,你必有意外的收获!