Question

a+b=1, a的平方＋b的平方=2, 求a的7次方＋b的7次方=?

有没有简便的方法？

Answer 1

楼上的是错的，正确的答案是：71/8。
用^来表示多少次方，则原题为：
a+b=1，a^2+b^2=2，求a^7+b^7=？
解：由a+b=1两边平方，得
a^2+b^2+2ab=1
2+2ab=1
ab=-1/2
所以a^2+b^2=2两边平方，得
a^4+b^4+2a^2×b^2=4
a^4+b^4=4-2(ab)^2=4-2×(-1/2)^2=7/2
另外，(a+b)(a^2+b^2)=a^3+ab^2+a^2b+b^3，所以
2=a^3+ab^2+a^2b+b^3
a^3+b^3=2-(ab^2+a^2b)=2-ab(a+b)=2-ab=2-(-1/2)=5/2
所以
(a^3+b^3)(a^4+b^4)=a^7+a^3b^4+a^4b^3+b^7
5/2×7/2=a^7+b^7+a^3b^3×(a+b)
35/4=a^7+b^7+(ab)^3
35/4=a^7+b^7+(-1/2)^3
因此，a^7+b^7=35/4+1/8=71/8。