Question

赶快啊，用定积分证明半径为R的球体积为V=4/3πR^3

求证半径为R的球体积为V=4/3πR^3

Answer 1

求证半径为R的球体积为V=4/3πR^3
如图
圆的方程为：x^2+y^2=R^2，现在将该圆绕x轴（或者y轴）旋转一圈，就得到半径为R的球，那么旋转体的体积就是球体的体积
对应于x轴上，在[x,x+dx]的区间，它绕x轴旋转一圈，得到一个半径为y=√[R^2-x^2]，高为dx的圆柱体，它的体积为dv=πy^2dx=π(R^2-x^2)dx，以此为积分变量，那么就有：
V=∫(-R,R)π[√[R^2-x^2]^2*dx
=∫(-R,R)π(R^2-x^2)dx
=∫(-R,R)πR^2dx-∫(-R,R)πx^2dx
=πR^2(x)|(-R,R)-(π/3)(x^3)|(-R,R)
=πR^2*[R-(-R)]-(π/3)*[R^3-(-R)^3]
=2πR^3-(π/3)*2R^3=2πR^3-(2π/3)R^3
=(4π/3)R^3
此即为旋转体的体积，亦即球体的体积