Question

如何严格证明数列a1=1, an+1 = 1 + 1/(1+an) 这个数列收敛?

该数列的极限应该是根号2，题目提示可以将下标是奇数的和下标是偶数的分开看

Answer 1

将下标是奇数的和下标是偶数的分开看，当下标是奇数时，令n=2k+1，则
a2k+1=1+1/(1+a2k)
当下标是偶数时，则
a2k=1+1/(1+a2k-1)
则有
a2k+1=1+1/(1+1+1/(1+a2k-1))=1+1/(2+1/(1+a2k-1))=1+(1+a2k-1)/(3+2a2k-1)=(4+3a2k-1)/(3+2a2k-1)
即
a2k+1-a2k-1=(4+3a2k-1-3a2k-1-2a2k-1^2)/(3+2a2k-1)=(4-2a2k-1^2)/(3+2a2k-1)
当k趋近于无穷大时，二者之差的极限为0。
当n为偶数时，证法类似。

追问

能解释一下为什么k趋向无穷大的时候，两者之差为0吗?没搞懂为什么