Question

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x+1)

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x+1)
1，若函数f(x)在0到正无穷为增函数，求a的取值范围。
2，设m,n为正实数且m不等于n。求证：(m-n)/(lnm-lnn)小于(m+n)/2。
要第2问详细解答

Answer 1

同意楼上的解答关于第二问的解答。

第一问用导数的知识解答，f'(x)=1/x-2a/(x+1)^2>=0,
F(X)=X^2+2X(1-a)+1>=0(x>=0)
分类讨论对称轴在y轴左边和右边，在左边时，对称轴x=a-1<=0，这时F(X)>=F(0)=1>0，成立；在右边时，a-1>0;顶点必须在x轴上，解得<0=a>=2
综合得a<=2。
2.其实只需证：（m/n-1）/ln(m/n)<(m/n+1)/2,取p=m/n
即只需证（p-1）/lnp<(p+1)/2 (p>0且不等1)
显然(p-1)/lnp>0;
分部讨论P>1时，只需证2(p-1)-(p+1)lnp<0,
只需证左边导数2-（lnp+1+1/p）<0;只需证lnp+1/p>1;
只需证左边导数1/p-1/p^2>0;只需证p>1与假设相符。同样可以证0<P<1的情况。

Answer 2

第一问:求导可以解得0〈a〈2或，第二问:(m+n)〉0将(m+n)除过去得到(m-n)/(m+n)(lnm-lnn)，n〉0上下同除n(令m/n=x)得(x-1)/(x+1)lnx〈1/2，剩下的用第一问的结论可以解出来

Answer 3

(一）解：f(x)=㏑x-a(x-1)/(x+1).(x>0).求导可得f'(x)=(1/x)-[2a/(x+1)²].由题设知，当x＞0时，恒有f'(x)≥0,即恒有(1/x)-[2a/(x+1)²]≥0.<===>(x+1)²/x≥2a.<===>2a≤2+x+(1/x).(x>0).故问题可化为当x＞0时，恒有2a≤2+x+(1/x),求实数a的取值范围。由均值不等式可知，当x＞0时，x+(1/x)≥2.等号仅当x=1时取得，故2a≤4,===>a≤2.故a的取值范围是(-∞,2].(二）解：由前面结论可知，在(0,+∞)上，函数f(x)=㏑x-2(x-1)/(x+1)递增。故当t>1时，有㏑t-[2(t-1)/(t+1)]＞0.即有(t+1)㏑t＞2(t-1).又t＞1,故㏑t＞0.故有(t-1)/㏑t＜(t+1)/2.由题设m,n＞0,且m≠n.若m＞n＞0,可设t=m/n>1.代入上式，两边同乘以n,注意㏑t=㏑(m/n)=㏑m-㏑n.可得(m-n)/(㏑m-㏑n)<(m+n)/2.当n＞m＞0时，取t=n/m>1,同样可得(m-n)/(㏑m-㏑n)<(m+n)/2.故原不等式成立。

Answer 4

(-无穷，1]上是y=1-x²的图像，[1,
无穷），是y=x²-1的图像
单调性：(-无穷，0]递增，[0,1]递减，[1,
无穷）递增
a的范围是（0,1）