Question

求极限lim((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)(a>0,b>0,c>0.(当x趋近于0时

Answer 1

^^以下极限假定x→0;

原式

=lim [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)

=lim e^(1/x) ln[(a^x+b^x+c^x)/3]

=e^lim (1/x) ln[(a^x+b^x+c^x)/3]

=e^J

J=lim (1/x) ln[(a^x+b^x+c^x)/3]

=lim [(a^x+b^x+c^x)/3-1]/x

=lim (a^x lna +b^x lnb +c^xlnb)/3 (洛必达法则)

=(lna+lnb+lnc)/3

所以，原极限=e^J=e^[(lna+lnb+lnc)/3]

扩展资料：

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

参考资料来源：百度百科-极限