凑微分法求不定积分是用新的还是旧的

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朝阳五行雷
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用新的。

不定积分(一)
第一类换元法也被称作“凑微分法”,顾名思义,凑出某种形式的微分。

我们首先来想一下这个方法是怎么来的。

假设现在我们要对一个复合函数  求不定积分,但我只有  这一积分公式。这时候就要想,要是中括号里不是  而是  该多好啊。

如果我直接令  ,强行让原式变为  的话,就可以用积分公式了。

但仔细一想,不对啊,把上面的那个式子展开,可得  ,这和原式不等价啊。

不过再仔细一想,如果把这个过程逆回去,不就是上面  这种函数的换元方法了吗。

从这个过程中我们也可以清晰的看出,这种换元方法为什么叫做“凑微分法”了。顾名思义,拼凑微分符号后面的积分变量,使复合函数中的内层函数可以被替换为一个新的变量。

这种换元法的使用条件也很容易看出:被积表达式中一个因子是某个复合函数的内层函数的导函数。

值得注意的是,在把因子“凑”到微分符号后面的时候,可以进行适当变形,以使换元后的表达式容易进行积分,但要注意等价变形。
下面给出一些例题来进行具体说明。

例1:求  .

解:观察发现,这显然是一个复合函数,其内层函数为  。那么我们可以考虑使用第一类换元法进行求解。

但容易发现,这个被积表达式并不符合条件。那我们不妨进行一下变形。

现在有了一个复合函数,只需要在后面乘上内层函数的导函数即可,即  .但是为了等价,我们要给整体除以2,得到  .

这下子我们可以用凑微分法了,把前面乘的2拿到微分符号后面,得到  ,但是为了方便积分,我们用它的等价形式  .

这样原式就变成了  .不妨令  ,则原式变为  .

容易求得,结果为  .

但是还没结束,我们要把变量换回去,即  .

即  .

【结论1】当内层函数为线性函数[  ]时,原式可以按照下面的方法进行变形:

 (  ).
例2:求  .

解:容易发现,这个积分中的被积表达式由两个因子相乘的到,其中第二个因子为复合函数  。

既然存在复合函数,那我们就考虑换元。再仔细观察一下,内层函数的导函数  ,恰好是第一个因子,这样刚刚好复合第一类凑微分法的条件。

把  移到微分符号后面,即 

那么,原式就变成了  ,令  ,得原式=  .

把  换回去就可以得到这道题的答案了,  .

【结论】当被积表达式的一个因子是复合函数,另一个因子刚好是复合函数的内层函数的导数时,可以按照如下方法进行变形:


例3:求  .

解:这个被积表达式第一眼看过去好像是  的导函数  .但可以注意到,分母上的“1”被替换为了  .这时候可以进行一些变形,把  的位置变为“1”。

可以考虑对被积表达式根号下的部分提公因式  并开方,得  ,那么原式就可以写成  ,显然,这里的  就是新的积分变量。因为  ,所以为了使其等价于  ,把它凑成  .

令  ,得  .

所以,结果就是  .

同理,求  时也可以类比这种做法,将其改写为  ,然后换元、凑微分。

【结论】当被积表达式中出现类似已知的积分公式的式子时,考虑先提公因式、开方等,然后再凑微分凑出积分公式。

例4:求  .

解:我们可以利用三角恒等式进行一些变形。

易知,  ,那么可以把  替换为  ,那么被积表达式就变成了  ,左侧是一个复合函数,内层函数是  ,右侧剩下了一个  没有被替换。

不过这样刚好,剩下的这一个  刚好是左侧复合函数的内层函数的导数,这样我们就又可以凑微分了:



这样很容易就可以得出结果  .

【结论】当被积表达式出现  或  时,可以利用  把奇数次式子中的三角函数化为和偶数次式子同名的三角函数,同时剩下一个不同名的三角函数,然后利用剩下的一个不同名三角函数来凑微分。

对于由 和  构成的形式相似的式子,也可以用这种方法凑微分。

例5*:求  .

解:已知降幂公式  。

用它对式子进行变形,得到:



展开,得



对被积表达式进行分组,得到



左边的式子可以再用一次降幂公式,然后直接求积分;右侧的式子则可以先用一次三角恒等式,然后再凑微分,得



解得,原式=  。

【结论】当被积表达式为两个偶次三角函数相乘时,利用降幂公式将其化为同名三角函数的多项式,然后凑微分求解。其中可能会对被积表达式进行分组。

另外,当两个同名三角函数相乘时,通常考虑利用积化和差公式进行变形。

第二类换元法:

奔跑的小蜗牛RLS:【高数笔记】不定积分(二):三角换元(第二类换元法)
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