Question

7个不同的小球放入四个不同的盒子中，每盒至少有一个小球的方法有多少种放法？

Answer 1

解：小球不同，盒子也不同，并且要求每盒至少有一个小球，
因此应该先考虑将小球如何分成4组，再考虑4组小球如何放入盒子里。
7=4+1+1+1=3+2+1+1=2+2+2+1
7个小球分成4个不为0的数的和共有3种分法：

①7=4+1+1+1——1个盒子放4个小球，剩下3个盒子每个盒子放1个小球。
先考虑在7个小球中选择4个作为1组，有C(7,4)=35种分法，
剩下的3个小球每个都作为1组，这样的4组小球分别放入4个不同的盒子里，
有A(4,4)=24种放法。
因此，7=1+1+1+4共有C(7,4)·A(4,4)=840种放法。

②7=3+2+1+1——1个盒子放3个小球，1个盒子放2个小球，剩下2个盒子每个盒子放1个小球。
先考虑在7个小球中选择3个作为1组，有C(7,3)=35种分法，
再在剩下的4个小球中选择2个作为1组，有C(4,2)=6种分法，
最后剩下的2个小球每个都作为1组，这样的4组小球分别放入4个不同的盒子里，
有A(4,4)=24种放法，
因此，7=1+1+1+4共有C(7,3)·C(5,2)·A(4,4)=5040种放法。

③7=2+2+2+1——3个盒子每个盒子放2个小球，剩下1个盒子放1个小球。
先考虑在7个小球中选择2个作为1组，有C(7,2)=21种分法，
再在剩下的5个小球中选择2个作为1组，有C(5,2)=10种分法，
再在剩下的3个小球中选择2个作为1组，有C(3,2)=3种分法，
最后剩下的1个小球作为1组，
这样的分组会有重复，实际只有C(7,2)·C(5,2)·C(3,2)/A(3,3)=105种分法，
这样的4组小球分别放入4个不同的盒子里，
有A(4,4)=24种放法，
因此，7=1+1+1+4共有105·A(4,4)=2520种放法。
(或者这样考虑：
在分组的同时选择放入的盒子，那么共有A(4,3)·C(7,2)·C(5,2)·C(3,2)=2520种放法.)

综上所述：把7个不同的小球放入四个不同的盒子中，每盒至少有一个小球，
一共有840+5040+2520=8400种放法。

Answer 2

7个不同的小球共形成6个空，可以在6个空中选择3个就分成四份，把这四份分别放到四个盒子中。
从六个中选3个，共有20种。然后放到四个不同盒子中，共有20*4!=480

Answer 3

1 1 1 4: C(4,1)*A(7,3)=840
1 1 2 3: A(4,2)*A(7,2)*C(7,2)=10584
1 2 2 2: C(4,1)*C(7,1)*C(6,2)*C(4,2)=2520
总计13944

Answer 4

6*5*4/3*2
=20

Answer 5

3种