Question

如图所示，直角梯形ABCD中，AD平行BC,角BCD=90度,且CD=2AD,tan角ABC=2，过点D作DE平行AB，交角BCD

如图所示，直角梯形ABCD中，AD平行BC,角BCD=90度,且CD=2AD,tan角ABC=2，过点D作DE平行AB，交角BCD的平分线于点E，连接BE
1.求证：BC=CD
2.将三角形BCE绕点C顺时针旋转90度得到三角形DCG，连接EG，求证：CD垂直平分EG
3.延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点

Answer 1

思路：1、延长DE交BC于F,得∠DFC=∠ABC
得tan∠DFC=tan∠ABC=2即DC=2CF
由已知CD=2AD，得到AD=CF
由平行四边形ADFB得AD=BF,所以CF=BF即BC=2AD
所以BC=CD
2、由CD=CB, ∠DCE=∠BCE,CE=CE得△DCG≌△BCE，所以BE=DE
△DCG是△BCE绕点C旋转90°得到，所以DG=BE=DE,CG=CE
点D和点C都在EG的中垂线上
所以CD是EG的中垂线（两点确定一条直线）
即CD垂直平分EG
3、由已证△DCG≌△BCE，得∠CDE=∠CBE
再有∠BCP=∠DCF,BC=DC
所以△DCF≌△BCP,所以CP=CF
所以CD=2CF=2CP即P是CD的中点

Answer 2

（1）延长DE交BC于F，得平行四边形ABFD，根据平行四边形的性质以及锐角三角函数的概念找到线段之间的关系，从而证明结论；

（2）根据旋转的性质，只需说明ED=GD，CE=CG，即可证明；

（3）根据已知条件，要证明P是CD的中点，只需证明PD=AD，借助全等即可证明．

证明：（1）延长DE交BC于F，

∵AD‖BC，AB‖DF，

∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．

在Rt△DCF中，

∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，

∴ CDCF=2，

即CD=2CF，

∵CD=2AD=2BF，

∴BF=CF，

∴BC=BF+CF= 12CD+ 12CD=CD．

即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠DCE，

由（1）知BC=CD，

∵CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，

由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，

∴DE=DG，

∴C，D都在EG的垂直平分线上，

∴CD垂直平分EG．

（3）连接BD，

由（2）知BE=DE，

∴∠1=∠2．

∵AB‖DE，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD‖BC，∴∠4=∠DBC．

由（1）知BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．

又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD，

∴DP=AD．

∵AD= 12CD，∴DP= 12CD．

∴P是CD的中点．