Question

判断∑(n从1到无穷)((-1)^(n-1)lnn)/n的收敛性，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？

Answer 1

该级数是条件收敛的。

因为∑an是收敛的（根据交替级数收敛原理），而∑|an|>∑(1/n)，而后者是发散的，所以∑|an|是发散的，根据条件收敛的定义知∑an是条件收敛的。

Answer 2

条件收敛
由莱布尼茨判别法
n充分大时,都有Un=lnn/n>ln(n+1)/(n+1)=Un+1 函数f(x)=lnx/x在[e,+inf)为减函数
且lim(n->inf)lnn/n=0

追问

n充分大时,都有Un=lnn/n>ln(n+1)/(n+1)=Un+1是定理吗？另外∑ⅠanⅠ=∑lnn/n,他的极限为0，应该是收敛的，为何不是绝对收敛呢？

追答

用导数容易证明函数f(x)=lnx/x在[e,+inf)为减函数，所以f(n)>f(n+1)在n>=3时就成立
n>=2时，lnn/n>1/n，调和级数∑1/n发散，由比较判别法知级数∑lnn/n发散，原级数不是绝对收敛