Question

复变函数题目，求方程z^3-1+i=0的所有根.

z^3-1+i=0的所有根.
要求详细规范过程

Answer 1

方程z^3+8=0的所有根：z1=-2；z2=1+√3 i；z3=1-√3 i。z^3+2^3=0。(z+2)(z^2-2z+4)=0。z+2=0，得：z1=-2。z^2-2z+4=0，得：z2=1+√3 i，z3=1-√3 i。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。

二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域。

对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

Answer 2

追问

为什么这位做出来的不一样呢

追答

开根号可能根据辐角的不同结果不同不能简单的把1-i写成
e^(-iπ/4)=cos（π/4）-isin（π/4），应该写成
e^[-i（π/4+2kπ）],这样在开根号时才会有多个取值，而且这些值都满足原始方程

追问

书上这题是一样的吗？不知道为什么k取0,1,2.求解

追答

立方跟当k=0，1，2会有三个不同取值，当n=4，5，6时这三个取值会重复一遍，当n=7，8，9，……时也是一样道理，取负值的时候也是一样，原理是当k=k+3时，辐角改变6π，开方后辐角改变2π，但e^(2πi)=1，所以又回复原值，所以k任取三个相邻整数值都能满足使结果取得所有满足原方程的值

追问

谢谢哦，我这里还有几个题目，能麻烦您帮我解答一下吗？

追答

可以，但是数量不要太多了。

追问

好的，谢谢你

1. Ln（-2）=？我不知道后面是 +πi 还是 +2πi。

2. 这题答案不知道我们再争论是D还是C？

3.后面两题我想看下您的具体过程，也是大家做出来不一样，希望你百忙中抽时间给我们写个过程。谢谢您。好的话我把分全给你了。

追答

1Ln（-2）=Ln[2e^(iπ+2ikπ)]=ln2+iπ(2k+1),k=0，±1，±2，……

2比值法：

L=lim（1/3^(n+1)）/(1/3^n)=lim3^n/3^（n+1）=1/3(lim下n→∞)

R=1/L=3

其实用排除法就能说明D错，就带入1好了，收敛，说明收敛半径肯定≥1

12,1<|z|<2

0<|z-2|<3

14.

u调和（x，y）≠（0，0）

根据柯西黎曼方程：

做的比较仓促，不过思路基本上是对的，计算你再仔细看看吧

追问

这里最后一步是不是搞错了额

追答

嗯漏打了最后的和式里的（-1）^n

追问

还有第一项里是不是还有个系数1/2？

追答

是，用？LTex排公式不是可视化的经常会漏

追问

米办法，不过还是希望麻烦您检查下第二小题和十四题的第二小题吧，ok我就采纳了哦

追答

第二小题没问题

14.找到一个类似的不过是求实部，f（z）一样